|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Homogene differentiaalvergelijkigen
Beste Tom,
Bedankt tot zover. Nee ik weet niet hoe ik punten van de eenheidscirkel kan beschrijven als e-macht. Zou ik wel graag willen weten!
De andere formule (Euler?) ken ik wel maar ik zie het niet.
Hoe kan dat?
Bij voorbaat dank je wel.
Antwoord
Beste Jack,
Als je de formule $e^{it} = \cos t + i \sin t$ kent, dan hoef je maar $t = -\pi /2$ te nemen en er rolt precies uit wat we nodig hebben want de cosinus is dan 0 en de sinus -1, dus:
$\displaystyle -i = e^{-i\frac{\pi}{2}}$
Meer algemeen: elk punt op de complexe eenheidscirkel (dus straal 1 en middelpunt in z = 0) kan je schrijven in de vorm $e^{it}$. Met dezelfde formule van Euler kan je immers inzien dat zo'n punt op die cirkel altijd cartesische coördinaten (cos(t),sin(t)) heeft. Voor sommige complexe getallen is die hoek erg eenvoudig af te lezen.
Om -i te schrijven als een e-macht hoef je dus maar in te zien dat dit 'punt' (complex getal) ligt bij een hoek van -90° = -p/2 (radialen) met de x-as, vandaar $e^{-i\pi /2}$.
mvg,
Tom
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
